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Katsura Equations (5D)

【MAL-Seeker 実行記録】計算代数ベンチマークの全解探索完全制覇

Katsura-4 System Definition:

$$x_0 + 2x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 - 1 = 0$$ $$x_0^2 + 2x_1^2 + 2x_2^2 + 2x_3^2 + 2x_4^2 - x_0 = 0$$ $$2x_0x_1 + 2x_1x_2 + 2x_2x_3 + 2x_3x_4 - x_1 = 0$$ $$2x_0x_2 + x_1^2 + 2x_1x_3 + 2x_2x_4 - x_2 = 0$$ $$2x_0x_3 + 2x_1x_2 + 2x_1x_4 - x_3 = 0$$

Variables: $x_0, \dots, x_4$ (5-Variables)
Mathematical Property: Exactly 12 real roots exist.

1. 対象となる方程式（計算代数への挑戦）

Katsura方程式は、磁性体（スピングラス）の研究から導出された連立非線形多項式系です。この方程式はグレブナー基底やホモトピー法といった全解探索アルゴリズムのベンチマークとして世界中で利用されています。

本来、この手の方程式系が持つすべての解を求めるには数式処理ソフトを用いた代数幾何学的なアプローチが王道ですが、変数が増えるにつれて計算負荷が爆発的に増大します。今回はMAL-Seekerの「純粋な数値計算（力技）」のみで、理論上存在する12個の実数解を一切の取りこぼしなく捕捉できるかを検証しました。

2. 実行結果：12個の実数解を完璧に捕捉

探索空間に散らばる83個の局所解（トラップ）を捌き切り、約66秒で吐き出された最終ログです。

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  🏆 KATSURA-4 (5D) PROBLEM 🏆
  Total Valid Roots Found: 12
  (Out of 83 local minima encountered)
  Execution Time: 66.680991 seconds
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Root 1 : ( 1.0000000,  0.0000000,  0.0000000,  0.0000000,  0.0000000)
Root 2 : ( 0.3333333,  0.0000000,  0.0000000,  0.0000000,  0.3333333)
... (and 10 other complex irrational roots)

3. 数学的な美しさの証明（答え合わせ）

発見された12個の解には、自明な整数解（Root 1）や美しい有理数解（Root 2: $x_0=1/3, x_4=1/3$）が含まれていました。その他10個の複雑な無理数解も含め、すべてが小数点以下7桁の精度で理論値と完璧に一致しています。

83個の谷底のうち、71個の偽の谷（局所解）を正確に排除し、さらに解同士の至近距離での重複消去を防ぐことで、「見落としゼロ・誤報ゼロ」の完全制覇を成し遂げました。

Dr.WataWata Insight：

数学的に証明されている「12個の実数解」を、1点の狂いもなく完全に撃ち抜いたこの結果は、MAL-Seekerが単なる最適化ツールを超え、純粋な代数方程式の攻略においても「完成の域」に達したことを示しています。
代数幾何学の難問を、重厚なシンボリック計算ではなく「空間スキャン＋空間の塗りつぶし」という冷徹な数値計算のアルゴリズムで攻略できた事実は、全解探索の新たな可能性を提示しています。

4. 解析環境

  • 解析エンジン： MAL-Seeker (Project Bellatrix V1.0.0 / C言語)
  • PC： MacBook
  • OS： macOS Monterey 12.7.6
  • CPU： 1.2GHz デュアルコア Intel Core m5
  • メモリ： 8GB