Neurophysiology Model (10D)

【MAL-Seeker 実行記録】高次元密行列系：神経細胞ネットワークモデルの全解探索

$$f_i(x_1, \dots, x_{10}) = x_i^3 - x_i^2 + x_i - \sum_{j=1}^{10} x_j = 0 \quad (i = 1, \dots, 10)$$

Variables: 10-Dimensional System (Dense Matrix)
Search Bounds: $[-10.0, 10.0]$

1. 対象となる方程式（高次元密行列系への挑戦）

今回対象としたのは、神経生理学的なネットワークを模した10変数連立非線形方程式です。

この方程式の最大の特徴は、各方程式 $f_i$ が自分以外の全変数 $x_j$ に依存している点にあります。これによりヤコビ行列の全要素が埋まる「密行列（Dense Matrix）」系となり、次元の増大とともに計算負荷が爆発的に跳ね上がります。「次元の呪い」と過酷な行列演算の両立が求められる難問です。

2. 実行結果

MAL-Seeker (Project Bellatrix V1.0.0) を用いた、10次元空間での全解探索ログです。

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  🏆 NEUROPHYSIOLOGY MODEL (10D) 🏆
  Found 3 Unique Roots (Dense Matrix System)
  Execution Time: 124.058014 seconds
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Root 1: ( 0.0000000,  0.0000000, ...,  0.0000000)
Root 2: (-2.5413813, -2.5413813, ..., -2.5413813)
Root 3: ( 3.5413813,  3.5413813, ...,  3.5413813)

10次元という広大な空間から、針の穴を通すような精度で実数解を特定。124秒で探索と収束計算を完遂しました。

3. 数学的検証：理論値との完全一致

本問題の対称性に基づき、全変数が等しい（ $x_1 = \dots = x_{10} = x$ ）と仮定して簡略化すると、以下の解析解が得られます。

$x^3 - x^2 - 9x = 0$
$\Rightarrow x = 0, \quad x = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2} (\approx -2.54138126, \,\, 3.54138126)$

MAL-Seekerが出力した数値解は、小数点以下7桁まで理論値と完璧に一致しており、高次元においても極めて高い計算信頼性を有していることが証明されました。

Dr.WataWata Insight：

10次元かつ全変数が複雑に絡み合う密行列系において、3つの実数解を一切の取りこぼしなく弾き出した結果には、開発者自身も手応えを感じています。
一般的なソルバーは高次元空間の「次元の呪い」に屈し、計算破綻を起こすか、途中の膨大な局所解に捕まって全解を見失うのが常です。本エンジンが過酷な空間スキャンと行列演算をクラッシュせず完走し、理論解をピンポイントで掘り当てた事実は、研究室レベルの高度な非線形モデリングに対し、十分な堅牢性と実用性を備えていることを示しています。

4. 解析環境

解析エンジン： MAL-Seeker (Project Bellatrix V1.0.0 / C言語)
PC： MacBook
OS： macOS Monterey 12.7.6
CPU： 1.2GHz デュアルコア Intel Core m5
メモリ： 8GB