PHCpack Benchmark Test 2

前回の「PHCpack Benchmark Test」では、noon5までの25問題に挑み、純粋なニュートン法と広域初期解選定（5SS）がどこまで通用するのかを観測しました。そこで見えたのは、強引に探索範囲を広げるだけでは越えられない「複素解」「多重根」「対称性」という三つの壁でした。

今回はその続編です。対象はredcyc7からcaprasseまでの追加10問題。Project Bellatrix V1.0.4では、複素数表現に対応した多項式専用ニュートン探索、複数スケールによる段階探索、チェックポイントからの再開、そして問題固有の対称性展開を組み合わせました。いわば、数で押し切る探索から、方程式の骨格を読みながら包囲する探索への転換です。

PHCpack公式データベースに記載された孤立解数と、MAL-Seekerが捕捉した解数を照合しました。今回の10問題では、すべての系で公式値に到達しています。問題名はそれぞれのPHCpack公式ページへのリンクです。

※ 「正解（公式解数）」はPHCpack公式データベースの「#sols（C*上の孤立解数）」、「発見した解数」はMAL-Seekerが捕捉した解の個数です。実行時間は各ログの値で、speerとcaprasseは再開を含む実行時間の合計です。redcyc7は条件の異なる複数試行から解集合を蓄積したため、単一の実行時間には換算していません。

複素数を避けず、正面から扱う

cyclic6やextcyc6では、実数空間だけを歩いていても全貌は見えません。そこで変数を実部と虚部へ展開し、複素解を通常の探索対象として扱いました。これにより、巡回構造が作る156個の解を、それぞれ最後まで捕捉しています。

解を一度で奪い切らず、記憶して包囲する

speerとcaprasseでは、長時間探索を一回の勝負にしませんでした。得られた解をチェックポイントへ保存し、次の探索へ持ち越し、対称性から導ける解を展開する。caprasseの20→24→48という推移は、ソルバーが「探索の記憶」を獲得した記録でもあります。

ippが教えた、定式化という最後の武器

ippは、探索範囲を±1500まで広げても36解で止まりました。しかし同じ問題をパラメータ化して組み直すと、公式値48へ到達しました。計算量を増やすだけでは足りない。方程式をどの姿でソルバーに見せるかが、全解探索の成否を決めることを示す結果です。

• 解析エンジン： MAL-Seeker (Project Bellatrix V1.0.4)
• 主な探索機構： 5SS / Polynomial Newton / Resume / Symmetry Closure
• PC： MacBook Pro (Mac17,2)
• OS： macOS Tahoe 26.4 (Build 25E246)
• CPU： Apple M5, 10-core (4P + 6E), arm64
• メモリ： 32GB

前回の25問題と合わせ、検証範囲は35問題へ到達しました。今回の10問題はすべて公式の孤立解数と一致しましたが、これはMAL-Seekerが万能になったという宣言ではありません。複素数化、対称性、再開、定式化という「問題の構造に応じた手当て」があって初めて届いた結果です。

力任せに迷宮を走り回っていたマルは、ようやく壁の模様を読み、足跡を残し、近道を見つけるようになりました。PHCpackの難問群はまだ先へ続きます。ここから先も、一問ずつ、見落としのない全解探索を積み重ねていきます。