PHCpack Benchmark Test 3

第一報ではboonからnoon5までの25問題、第二報ではredcyc7からcaprasseまでの10問題を記録しました。そして今回、caprasseの次に並ぶcyclic7から、PHCpack公式データベースの主要コレクション末尾に置かれたroseまで、残る45問題の検証が完了しました。

ここで重要なのは、同じ解法を45回繰り返したのではないという点です。序盤の多段再開探索、中盤の問題削減と非飽和化、終盤の総次数ホモトピー、多斉次ホモトピー、変数スケーリング。問題ごとに異なる構造を読み取り、必要な道具を一つずつMAL-Seekerへ組み込んできました。

最初の10問題では、924解を持つ7次巡回系と、1,152解を持つ8次巡回系が立ちはだかりました。チェックポイントへ解集合を保存し、探索領域を広げながら不足分だけを追うことで、長時間探索を「続きから始められる計算」へ変えています。

* 再開に使用した連続した探索ステージの実行時間を合算しています。

次の15問題では、力任せの初期値探索よりも定式化が主役になりました。des18_3は縮約と総次数ホモトピー、fbrfive4は非飽和化、kinemaは多斉次構造の利用によって公式解数へ到達しています。

最後の20問題では、総次数ホモトピーと多斉次ホモトピーが探索の中核へ入りました。特にcohn2、cohn3、discret3では、そのままでは少数の解しか見えなかった系をスケーリングし、経路追跡へ渡すことで一気に公式値へ到達しています。

探索は、一回で終わらなくてよい

cyclic7は560、658、728、854、そして924解へ進みました。途中結果を失わず、次の探索へ渡す再開機構によって、時間のかかる全解探索を積み上げ可能な工程へ変えました。

式の構造は、計算量そのものである

fbrfive4の非飽和化、des18_3の縮約、kinemaの多斉次分割は、同じ数学的対象でも「どう見せるか」で難易度が変わることを示しました。全解探索はソルバーの性能だけでなく、定式化との共同作業です。

ニュートン探索から経路追跡へ

cohn2、cohn3、discret3を境に、総次数・多斉次ホモトピーが本格的に加わりました。局所的に解へ落ちるだけでなく、構造から生成した始点を連続的に終点まで運ぶ。MAL-Seekerは探索器から、多項式系を解き切るための複合エンジンへ一段進みました。

• 解析エンジン： MAL-Seeker (Project Antares Ver 3.1.6)
• 開発プロジェクト： Project Bellatrix V1.0.4
• 主な探索機構： 5SS / Polynomial Newton / Resume / Symmetry Closure
• 経路追跡： Total-Degree / M-Homogeneous Homotopy
• PC： MacBook Pro (Mac17,2)
• OS： macOS Tahoe 26.4 (Build 25E246)
• CPU： Apple M5, 10-core (4P + 6E), arm64
• メモリ： 32GB

PHCpackの主要80問題は、数値解析、ロボット機構学、化学平衡、経済均衡、求積公式、代数構造まで、まるで異なる世界を一つの多項式系データベースへ押し込んだ地図でした。その端から端まで一度歩いたことで、MAL-Seekerが得意な地形と、まだ装備が不足する地形の輪郭が見えました。

roseへの到達はゴールではありません。公式ページには別枠の新規テスト例や、特異解のデフレーション、代数集合の分解という次の領域が続いています。けれど、ここで一度立ち止まり、主要コレクション一巡の記録を残します。迷宮の出口を見つけたのではなく、ようやく迷宮全体の座標を手に入れたのです。