Euler法
現在の傾きだけで次の値を予測する最も基本的な陽解法です。
Tools / Numerical Analysis
Differential Equation Visualizer
一階常微分方程式を時間方向へ解き、計算法による精度と安定性の違いを可視化します。
Step 1
方程式と計算条件
Result
計算結果
- 終了時の数値解
- 終了時の参考解
- 終了時の絶対誤差
- 区間内の最大誤差
- ステップ数
- 実際の刻み幅
- Newton反復
- 収束失敗
全手法の比較
| 方法 | 終了値 | 終了時誤差 | 最大誤差 | Newton反復 | 状態 |
|---|
Guide
搭載した5つの方法
改良Euler法
区間の始点と予測した終点の傾きを平均して精度を改善します。
4次Runge–Kutta法
1ステップ内で4回傾きを評価し、滑らかな問題で高い精度を得ます。
Backward Euler（BDF1）
次時刻の傾きを使う陰解法です。各ステップの未知数をNewton法で解きます。
Gear 2次法（BDF2）
直前2点を使う2次の後退差分法です。最初の1ステップはBackward Eulerで開始します。
Equations
計算方法の数式
ここで \(f_n=f(t_n,y_n)\)、\(h=t_{n+1}-t_n\) とします。
Euler法
\[y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n)\]
改良Euler法（Heun）
\[\tilde y_{n+1}=y_n+h f_n\]\[y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\{f_n+f(t_{n+1},\tilde y_{n+1})\}\]
4次Runge–Kutta法
\[k_1=f(t_n,y_n),\quad k_2=f(t_n+\tfrac h2,y_n+\tfrac h2k_1)\]\[k_3=f(t_n+\tfrac h2,y_n+\tfrac h2k_2),\quad k_4=f(t_n+h,y_n+hk_3)\]\[y_{n+1}=y_n+\frac h6(k_1+2k_2+2k_3+k_4)\]
Backward Euler（BDF1）
\[y_{n+1}=y_n+h f(t_{n+1},y_{n+1})\]\[R(z)=z-y_n-hf(t_{n+1},z)=0\]
未知の \(z=y_{n+1}\) をNewton法で求めます。
Gear 2次法（BDF2）
\[\frac{3y_{n+1}-4y_n+y_{n-1}}{2h}=f(t_{n+1},y_{n+1})\]\[R(z)=\tfrac32z-2y_n+\tfrac12y_{n-1}-hf(t_{n+1},z)=0\]
最初の1点はBackward Eulerで作り、その後は残差 \(R(z)\) をNewton法で解きます。
初版は一階のスカラー方程式 dy/dt = f(t,y) と固定刻み幅を対象にしています。高精度参考解は細かい刻みのRK4による数値解です。Gear法を含む陰解法はNewton反復を使うため、式や条件によっては収束しません。研究・設計用途では専門ソフトでも再確認してください。