Math Foundations

マイナス × マイナスはなぜプラスか？

1. 物理モデルによる直感的な理解

中学数学で最初につまずくポイントの一つが「負の数同士の掛け算」です。これには工学的なモデルである「速度」と「時間」を用いることで、直感的にアプローチできます。

東西に伸びる一直線の道路を想像してください。「東」をプラス、「西」をマイナスの方向とします。

さて、この車は「2時間前」にはどこにいたでしょうか？

現在、西に向かってバック走行で $0$ 地点を通過しているわけですから、時間を巻き戻せば、車は「東（プラス）の方角」からやってきたはずです。

\[ (\text{西向きの速度}) \times (\text{過去の時間}) = (\text{東側の位置}) \] \[ (-50) \times (-2) = +100 \]

このように、「逆向きの動き」を「時間を遡って」考えると、結果として「正の位置」が現れる。これが物理的な直感による説明です。

しかし、上記の例はあくまで「解釈」に過ぎません。数学においてより重要なのは、「なぜ定義上そうならざるを得ないのか」という論理的必然性です。

この事実は、実数の定義に含まれる以下の3つの公理から自動的に導かれます。

1. 分配法則 (Distributive Property):
$a(b + c) = ab + ac$
2. 加法逆元の定義 (Additive Inverse):
任意の実数 $x$ に対して $x + (-x) = 0$ が成り立つ。
3. 乗法単位元の定義 (Multiplicative Identity):
任意の実数 $x$ に対して $x \times 1 = x$ が成り立つ。

もっとも基本的な例として、$(-1) \times (-1) = 1$ を証明します。

まず、任意の数に $0$ を掛けると $0$ になるという事実から出発します。

\[ (-1) \times 0 = 0 \]

ここで、$0$ を $(1 + (-1))$ と書き換えます（加法逆元の定義）。

\[ (-1) \times \{ 1 + (-1) \} = 0 \]

ここで分配法則を適用して展開します。これがこの証明の核です。

\[ \underbrace{(-1) \times 1}_{-1} + \underbrace{(-1) \times (-1)}_{?} = 0 \]

第一項の $(-1) \times 1$ は、乗法単位元の定義より $-1$ となります。したがって式は以下のようになります。

\[ -1 + \{ (-1) \times (-1) \} = 0 \]

この式の両辺に $1$ を足して、左辺の $-1$ を消去します。

\[ 1 + (-1) + \{ (-1) \times (-1) \} = 1 + 0 \]

左辺の $1 + (-1)$ は $0$ になって消えます。その結果、残るのは以下の等式です。

\[ (-1) \times (-1) = 1 \]

(Q.E.D.)

この証明が示しているのは、「マイナス×マイナス＝プラス」というルールは、誰かが勝手に決めたものではなく、「分配法則を破綻させないための必然的な結果」だということです。

もし仮に $(-1) \times (-1) = -1$ だと定義してしまったら、分配法則という強力なツールが矛盾を起こし、代数学の体系（そしてそれを利用する回路理論や制御工学）は崩壊してしまいます。

一見すると不思議に思える数学のルールも、実は「全体の整合性（Consistency）」を保つために、そうならざるを得ないようにできているのです。