0.999... は本当に 1 なのか？
無限小数は「限りなく近い」のか、それとも「そのもの」なのか。
直感的な違和感を、代数的な証明で紐解きます。
1. The Paradox (直感とのズレ)
「$0.999\dots = 1$」と言われたとき、多くの人は直感的な拒否反応を覚えます。
「$0.9$、 $0.99$、 $0.999$ $\dots$ と増やしていけば、$1$ に限りなく近づくことはわかる。しかし、あくまで『近づいている』だけであり、永遠に $1$ には届かないのではないか？」
この感覚は、私たちが数を「数直線上の一点（静的な値）」としてではなく、「近づいていくプロセス（動的な変化）」として捉えてしまうことに起因します。しかし、数学的な定義において、この両者は完全に等しい値を示します。
2. Proof 1: Algebraic Approach
最も有名な代数的証明です。無限に続く部分をうまく消去することで導きます。
ある数 $x$ を以下のように定義します。
$$ x = 0.999\dots $$
この両辺を $10$ 倍します。小数点が一つ右にずれます。
$$ 10x = 9.999\dots $$
ここから、元の $x$ を引きます。
$$ \begin{align} 10x &= 9.999\dots \\ -)\; x &= 0.999\dots \\ \hline 9x &= 9 \end{align} $$
よって、$x = 1$ となります。
3. Proof 2: Fraction Approach
より直感的な、分数を用いたアプローチです。
$1 \div 3$ を計算すると、$0.333\dots$ となることは広く知られています。
$$ \frac{1}{3} = 0.333\dots $$
この等式の両辺に $3$ を掛けます。
$$ \frac{1}{3} \times 3 = 0.333\dots \times 3 $$
左辺は $1$ になり、右辺は各桁の $3$ が $9$ になります。
$$ 1 = 0.999\dots $$
4. Dr.WataWata's Insight
なぜこの等式が成立するのか。その本質は「表記の一意性」の欠如にあります。
私たちは「ひとつの数には、ひとつの書き方しかない」と思い込みがちです。しかし、例えば「$\frac{1}{2}$」と「$\frac{2}{4}$」と「$0.5$」がすべて同じ数を表すように、「$1$」と「$0.999\dots$」は、数直線上にある全く同じ一点を指す、異なる２つの名前に過ぎません。
もし $0.999\dots$ と $1$ が違う数だとしたら、その間には必ず「隙間」があり、そこには別の数が存在するはずです。しかし、$1 - 0.999\dots$ の差は $0.000\dots$ であり、どこまで行っても $0$ 以外の数は現れません。
「近づく」のではなく、最初から「そこにいる」。これが実数の連続性がもたらす結論です。