Double Pendulum

二重振り子（Double Pendulum）とは、振り子の先にもうひとつの振り子を連結した物理系です。非常に単純な構造でありながら、その挙動は初期条件に対して極めて敏感であり、予測不可能な「カオス（Chaos）」を示す典型例として知られています。

エネルギー保存則による検証

この系における重要な物理法則が「力学的エネルギー保存則」です。摩擦や空気抵抗を無視できる理想的な環境下では、運動エネルギー $K$ と位置エネルギー $U$ の和 $E$ は、どんなに激しく動き回っても常に一定でなければなりません。

数値シミュレーションにおいては、この $E$ が時間経過とともに変化しないことが、計算精度（シミュレータの信頼性）を保証する最も強力な指標となります。

以下のデモで、初期値を水平位置（$\pi/2$）とした際のカオス的な挙動を確認できます。

長さ $L_1, L_2$、質量 $m_1, m_2$ の二重振り子の運動方程式（ラグランジュ形式）は以下の通りです。この連立2階非線形微分方程式を数値的に解くことで、上記の動きを再現しています。

本解析では以下の物理定数を使用しました。

• $m_1 = 1.0$ [kg], $m_2 = 1.0$ [kg]
• $L_1 = 1.0$ [m], $L_2 = 1.0$ [m]
• $g = 9.8$ [m/s$^2$]

速度 $\omega$ と角度 $\theta$ の関係式（数値積分における拘束条件）は以下の通りです。

二重振り子を台形法で解析した結果を示します。

今回は直接プログラミングするのではなく、式を回路で記述して回路シミュレーターSPICEで解くという逆転的発想に基づいた方法論である「SPICE指向型解析法」を用いて解析を行いました。