Stewart Platform

スチュワートプラットフォームは、6本の伸縮する脚で天板（プラットフォーム）を支える6自由度のパラレルリンク機構です。以下のシミュレータで、各軸を操作した際の姿勢変化と、各脚の長さ $L_i$ の関係を確認できます。

※画面内をドラッグすると視点を回転できます。

スチュワートプラットフォームの逆運動学は、幾何学的に容易に解くことができます。しかし、その逆問題である順運動学（Forward Kinematics）は、6本の脚の長さ $L_1, \dots, L_6$ から天板の姿勢 $(x, y, z, \phi, \theta, \psi)$ を求める問題であり、高度な非線形連立方程式を解く必要があるため、解析的なアプローチは困難を極めます。

今回は直接プログラミングするのではなく、式を回路で記述して回路シミュレーターSPICEで解くという逆転的発想に基づいた方法論である「SPICE指向型解析法」を用いて解析を行いました。SPICEが持つ強力なニュートン・ラフソン法ソルバーを、電子回路ではなく物理シミュレーションに応用する試みになります。

スチュワートプラットフォームの $i$ 番目の脚の長さ $L_i$ は、ベース座標 $\boldsymbol{B}_i$ とプラットフォーム座標 $\boldsymbol{P}_i$、および回転行列 $\boldsymbol{R}(\phi, \theta, \psi)$ を用いて以下のように記述されます。

ここで $\boldsymbol{T} = [x, y, z]^T$ は並進ベクトル、$\boldsymbol{R}$ は以下で定義される Z-Y-X オイラー角系の回転行列です。

当初、計算コストを削減するため、平方根計算を含まない「2乗形式」の残差を電流源として定義し、フィードバック制御による収束を試みました。

このモデルは、初期誤差が「2乗」で効いてくるため、SPICEの高ゲイン（$1\text{T}\Omega$）と組み合わさることで変数値が $10^{155}$ を超え、オーバーフローを引き起こしました。

数値爆発を防ぐため、評価関数を「2乗誤差」から「ユークリッド距離誤差」（ルート形式）へと変更し、さらに各ノードに安定化抵抗（$1\Omega$）を配置する「ロバスト・ソルバー」を構築しました。

また、特異点（Singularity）での計算不全を防ぐため、フィードバックゲイン $G$ を $1000$ から $1.0$ へと劇的に低下させる「低ゲインフィードバックによる緩和手法（Relaxation Method）」を採用しました。これにより、解の近傍での振動を抑え、滑らかな収束を実現しました。

本ソルバーの性能を評価するため、以下の2つのケースについて解析を行いました。

Case B の解析を行った結果、SPICEは $x \approx 1.05$ という値に収束しました。

理論値（$x=2.0$）との不一致について検証を行ったところ、入力した脚長データ自体に微小な矛盾が含まれており、幾何学的に $x=2.0$ をとることが不可能であることが判明しました。SPICEは計算を誤ったのではなく、矛盾を含むデータの中で物理的に最も整合性の取れる「妥協解」を正確に導き出していたのです。